Riemannsche Mannigfaltigkeiten

#1 Hilbedd 13 März 2023, 15:12
Ein herzhaft-sächschisches Guten Morgen Allerseits in die Runde!

Hier soll es um die Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten gehen.

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare
$n$
-dimensionale Mannigfaltigkeit
$M$
mit einer Funktion
$g$
, die jedem Punkt
$p\in M$
ein Skalarprodukt des Tangentialraums
$T_pM$
zuordnet, das heißt eine positiv definite, symmetrische Bilinearform

$g_p\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb R$
,
die differenzierbar von
$p$
abhängt. Das heißt, bei gegebenen differenzierbaren Vektorfeldern
$X,\,Y \in \mathfrak{X}(M)$
ist

$aa9e95299bc653f2379607a1c6dada359f3cf29b$

eine differenzierbare Funktion. Die Funktion
$g$
heißt riemannsche Metrik oder auch metrischer Tensor, ist aber keine Metrik im Sinne der metrischen Räume.

Wie steht ihr zur Riemannschen Metrik und wie viele Geodäten habt ihr letztes Jahr so berechnet?
Quasimodo, elefantenfrisch, DarkroomDetlef und 2 andere
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#2 םחטצ 13 März 2023, 15:13
Ja
elefantenfrisch und Hilbedd
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#3 MächtigerMauzer 13 März 2023, 15:20
Das Verfahren zur Berechnung der Oberfläche dicker britisch kurzhaar-Katzen unter Verwendung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist ein komplexer Prozess, der aus mehreren Schritten besteht.
Zunächst müssen wir die britisch kurzhaar-Katze als eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit betrachten, die sich im Raum ausbreitet. Wir können die Oberfläche der Katze als zwei-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit darstellen, die auf der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit der Katze eingebettet ist.
Um die Oberfläche der Katze zu berechnen, müssen wir ein metrisches Tensorfeld auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit der Katze definieren. Das Tensorfeld wird uns erlauben, die Abstände zwischen Punkten auf der Oberfläche der Katze zu messen und somit die Gesamtoberfläche der Katze zu bestimmen.
Um das Tensorfeld zu definieren, müssen wir zuerst die Geometrie der Riemannschen Mannigfaltigkeit der Katze verstehen. Dies erfordert die Berechnung der Krümmung der Mannigfaltigkeit an jedem Punkt. Wir verwenden dazu den Riemann-Krümmungstensor R_{ijk}^l, der uns die Änderung der Krümmung entlang der verschiedenen Richtungen gibt.
Wir können auch den Levi-Civita-Zusammenhang \Gamma_{ij}^k verwenden, um die kovariante Ableitung des metrischen Tensors zu definieren, die uns die Änderung des Tensors in verschiedenen Richtungen gibt. Mit diesen beiden Werkzeugen können wir das Tensorfeld definieren, das uns die Oberfläche der Katze berechnet.
Nachdem wir das Tensorfeld definiert haben, müssen wir es auf der Oberfläche der Katze integrieren, um die Gesamtoberfläche zu berechnen. Dies erfordert die Verwendung des Riemannschen Integrals, das uns erlaubt, die Oberfläche der Katze als Summe von infinitesimalen Flächenstücken zu berechnen.
Insgesamt ist das Verfahren zur Berechnung der Oberfläche dicker britisch kurzhaar-Katzen unter Verwendung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten ein komplexer und mathematisch anspruchsvoller Prozess, der die Verwendung fortgeschrittener Konzepte aus der Differentialgeometrie erfordert.
Hilbedd
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#4 םחטצ 13 März 2023, 15:25
Ich löse in meiner Freizeit gerne inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Dieser Beitrag wurde von םחטצ am 13.03.2023 15:37:59 bearbeitet.
DarkroomDetlef und Schuppenflechte
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#5 Hilbedd 13 März 2023, 15:25
Zitat von: MächtigerMauzer
Das Verfahren zur Berechnung der Oberfläche dicker britisch kurzhaar-Katzen unter Verwendung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist ein komplexer Prozess, der aus mehreren Schritten besteht.
Zunächst müssen wir die britisch kurzhaar-Katze als eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit betrachten, die sich im Raum ausbreitet. Wir können die Oberfläche der Katze als zwei-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit darstellen, die auf der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit der Katze eingebettet ist.
Um die Oberfläche der Katze zu berechnen, müssen wir ein metrisches Tensorfeld auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit der Katze definieren. Das Tensorfeld wird uns erlauben, die Abstände zwischen Punkten auf der Oberfläche der Katze zu messen und somit die Gesamtoberfläche der Katze zu bestimmen.
Um das Tensorfeld zu definieren, müssen wir zuerst die Geometrie der Riemannschen Mannigfaltigkeit der Katze verstehen. Dies erfordert die Berechnung der Krümmung der Mannigfaltigkeit an jedem Punkt. Wir verwenden dazu den Riemann-Krümmungstensor R_{ijk}^l, der uns die Änderung der Krümmung entlang der verschiedenen Richtungen gibt.
Wir können auch den Levi-Civita-Zusammenhang \Gamma_{ij}^k verwenden, um die kovariante Ableitung des metrischen Tensors zu definieren, die uns die Änderung des Tensors in verschiedenen Richtungen gibt. Mit diesen beiden Werkzeugen können wir das Tensorfeld definieren, das uns die Oberfläche der Katze berechnet.
Nachdem wir das Tensorfeld definiert haben, müssen wir es auf der Oberfläche der Katze integrieren, um die Gesamtoberfläche zu berechnen. Dies erfordert die Verwendung des Riemannschen Integrals, das uns erlaubt, die Oberfläche der Katze als Summe von infinitesimalen Flächenstücken zu berechnen.
Insgesamt ist das Verfahren zur Berechnung der Oberfläche dicker britisch kurzhaar-Katzen unter Verwendung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten ein komplexer und mathematisch anspruchsvoller Prozess, der die Verwendung fortgeschrittener Konzepte aus der Differentialgeometrie erfordert.
Das kann man auch alles mit der Katz von Bolzano-Weierstraß zeigen.
Birdlawyer-24/7 reloaded
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#6 MächtigerMauzer 13 März 2023, 15:37
Zitat von: Hilbedd
Das kann man auch alles mit der Katz von Bolzano-Weierstraß zeigen.
Der berühmte Katz von Bolzano und Weierstraß ist ein mathematischer Satz, der besagt, dass jede Abfolge von Leckerlis, die eine Katze verzehrt, quantitativ in einem Intervall mit Minimum und Maximum verortet werden kann. Um diesen Satz zu beweisen, müssen wir zuerst eine mathematische Beschreibung der Leckerlis einführen.
Sei L = {l_1, l_2, l_3, ...} die Menge der Leckerlis, die die Katze verzehrt. Wir definieren eine Funktion f : L -> R, die jedem Leckerli eine reelle Zahl zuordnet. Diese Funktion gibt das Gewicht des Leckerlis an, wobei wir davon ausgehen, dass jedes Leckerli ein einzigartiges Gewicht hat.
Dann betrachten wir die Folge a_n = f(l_1) + f(l_2) + ... + f(l_n) der Summen der Gewichte der Leckerlis nach jedem Verzehr. Diese Folge a_n ist monoton wachsend, da jedes neue Leckerli ein Gewicht hinzufügt.
Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß gibt es eine monotone Teilfolge a_{n_k}, die gegen ein Grenzwert a konvergiert. Das bedeutet, dass sich die Katze, auch wenn sie eine unendliche Menge von Leckerlis zu sich nimmt, auf ein bestimmtes Gewicht einpendeln wird.
Um das Intervall zu bestimmen, in dem sich die Gewichte der Leckerlis befinden, müssen wir die Grenzen von a_n bestimmen. Wir verwenden dazu das Konzept der Cauchy-Folgen, indem wir zeigen, dass a_n eine Cauchy-Folge ist. Das bedeutet, dass für jedes Epsilon > 0 ein N existiert, so dass für alle n, m > N gilt |a_n - a_m| < Epsilon.
Durch Anwendung der Dreiecksungleichung und der Monotonie von a_n erhalten wir |a_n - a_m| = |a_{n-m}| <= |a_N - a_{N-m}| <= |a_N - a| + |a - a_{N-m}| <= 2 * Epsilon.
Daher ist a_n eine Cauchy-Folge und hat somit einen Grenzwert a. Das Intervall, in dem sich die Gewichte der Leckerlis befinden, wird durch das Intervall [a - Epsilon, a + Epsilon] gegeben.
Somit haben wir bewiesen, dass der Katz von Bolzano und Weierstraß gilt, und dass jede Abfolge von Leckerlis, die eine Katze verzehrt, quantitativ in einem Intervall mit Minimum und Maximum verortet werden kann. Dieser Beweis ist von äußerster Komplexität und nur für die mathematisch Versierten verständlich.
DarkroomDetlef, Birdlawyer-24/7 reloaded, םחטצ und eine weitere Person
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#7 Ezio Auditore 5 Jan. 2026, 18:48
Vergesst nicht ne Null zu addieren
elefantenfrisch
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#8 elefantenfrisch 5 Jan. 2026, 22:05
Mannigfaltigkeiten waren die Dingen um die Oberfläche eines runden Körpers ins 2 Dimensionale zu transformieren? Also für Karten?

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#9 Ezio Auditore 6 Jan. 2026, 15:37
Damitmer sie nacher schön zammefaltn kann aller!
elefantenfrisch
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